III. Задачи на составление дифференциальных уравнений

Задачи на составление дифференциальных уравнений

III. Задачи на составление дифференциальных уравнений

Рассмотрим конкретный пример.

Скорость распада радия пропорциональна его имеющемуся количеству R. Найти закон распада радия, если известно, что через 1600 лет останется половина первоначального количества. Какой процент радия окажется распавшимся через 100 лет?

Решение. Пусть R– количество радия в момент времени t, а R0- его первоначальное количество. Тогда скорость распада радия равна и является отрицательной величиной, т.к. R с течением времени убывает. Согласно условию задачи имеем: , где k>0 – коэффициент пропорциональности, подлежащий определению. Интегрируем полученное уравнение:

Осталось найти k и C. Для определения произвольной постоянной С воспользуемся начальным условием: R=R0 в начальный момент времени t=0. Тогда R0=С. Итак, закон распада радия имеет вид

Для нахождения k воспользуемся следующим условием: при t=1600. Отсюда

Таким образом, окончательно получаем

При t=100 имеем

Следовательно, через 100 лет распадается 4,2% первоначального запаса радия.

Решить задачи.

6.26. Тело за 10 мин охлаждается от 100 до 60°С. Температура окружающего воздуха равна 20°С.

Считая скорость остывания тела пропорциональной разности температур тела и окружающего его воздуха, определить, за какое время тело остынет до 30°С. Указание.

Пусть Т– температура тела в момент времени t. Тогда дифференциальный закон охлаждения тела имеет вид

.

6.27. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 1,5 м/с. Через 4с после выключения мотора ее скорость уменьшилась до 1 м/с.

Считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки, найти ее скорость через 50с после остановки мотора. Указание.

Пусть V– скорость лодки после выключения мотора в момент времени t. Тогда зависимость между V и t имеет вид , где m- масса лодки.

6.28. Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность.

При прохождении через слой толщиной 2м поглощается 1/3 первоначального светового потока. Определить, какой процент первоначального светового потока дойдет до глубины 4м. Указание.

Пусть Q– световой поток, падающий на поверхность на глубине h. Тогда dQ = – kQdh.

6.29. Скорость тела V, брошенного вниз с начальной скоростью V0, определяется равенством V=V0+gt. Найти уравнение движения данного тела.

6.30. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна начальному количеству бактерий. Найти зависимость изменения количества бактерий от времени.

6.31. Найти закон роста клеток с течением времени, если для пальчиковых клеток скорость роста пропорциональна длине клетки l в данный момент. Указание. Пусть , где a,b- постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада.

6.32. По какому закону происходит разрушение клеток в звуковом поле, если скорость их разрушения пропорциональна начальному количеству N.

6.33. Скорость укорочения мышц описывается уравнением , где х0- полное укорочение, х – укорочение в заданный момент. Найти закон сокращения мышц, если при t=0 величина укорочения была равна нулю.

Глава 7

Элементы теории вероятностей

И математической статистики

Основные понятия

Теория вероятности и методы математической статистики широко используются при изучении заболеваемости, физического развития населения, физиологических и биохимических показателей. Это обусловлено тем, что многим биологическим явлениям свойственны статистические закономерности, которые обнаруживаются при изучении случайных совокупностей.

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие массовым (статистическим) случайным событиям, и их количественную оценку. Математическая статистика позволяет систематизировать и оценивать экспериментальные данные, которые рассматриваются как случайные величины.

Важнейшими понятиями теории вероятности и математической статистики являются понятия: «случайное событие», «вероятность случайного события», «случайная величина».

Случайным событием А называют событие, которое в одинаковых условиях эксперимента может произойти, а может и не произойти, и о появлении которого не может быть сделано точного предсказания.



Источник: https://infopedia.su/7x134e.html

III. Задачи на составление дифференциальных уравнений

III. Задачи на составление дифференциальных уравнений

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Методика составления и решения прикладных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Составление дифференциального уравнения по условию за­дачи (механической, физической, химической или технической) состоит в определении математической зависимости между пе­ременными величинами и их приращениями.

В ряде случаев дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений – за счет их предварительного учета. Например, представляя скорость выражением , мы не привлекаем приращений ∆s и ∆t, хотя они фактически учтены в силу того, что

.

Ускорение в какой-нибудь момент времени t выражается зависимостью:

.

При составлении дифференциальных уравнений приращения сразу же заменяются соответствующими дифференциалами. Изучение любого процесса сводится:

1) к определению его отдельных моментов;

2) к установлению общего закона его хода.

Отдельный момент процесса (т. н. элементарный процесс) выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса с их дифференциалами или производными — диффе­ренциальным уравнением; закон общего хода процесса выра­жается уравнением, связывающим переменные величины про­цесса, но уже без дифференциалов этих величии.

Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. В большинстве случаев методика решения техни­ческих задач с применением теории обыкновенных дифферен­циальных уравнений сводится к следующему:

1.Подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего ее суть.

2.Составление дифференциального уравнения рассматривае­мого процесса.

3.Интегрирование составленного дифференциального уравне­ния и определение общего решения этого уравнения.

4.Определение частного решения задачи на основании дан­ных начальных условий.

5.Определение, по мере необходимости, вспомогательных пара­ метров (например, коэффициента пропорциональности и др.),

используя для этой цели дополнительные условия задачи.

6. Вывод общего закона рассматриваемого процесса и число­
вое определение искомых величии.

7. Анализ ответа и проверка исходного положения задачи. Некоторые из этих рекомендаций в зависимости от характера

задачи могут отсутствовать.

Как и при составлении алгебраических уравнений, при реше­нии прикладных задач по дифференциальным уравнениям многое зависит от навыков, приобретаемых упражнением. Однако здесь еще в большей степени требуется изобретательность и глубокое понимание сути изучаемых процессов.

Рассмотрим процесс решения следующих задач:

Задача 3.1.

Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин. падает от 1000 до 600 (рис. 3.1). Температура воздуха равна 250. Через сколько времени от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 300?

Решение:

В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это – процесс неравномерный. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет:

.

где Т – температура хлеба;

t – температура окружающего воздуха ( в нашем случае 250);

k – коэффициент пропорциональности;

– скорость охлаждения хлеба.

Пусть – время охлаждения.

Тогда, разделяя переменные, получим:

,

или для условий данной задачи :

.

Виду того, что

интегрируя, получаем:

или

Потенцируя обе части последнего равенства, имеем:

Так как

,

то окончательно

. (1)

Произвольную постоянную С определяем, исходя из начального условия: при мин, Т=100о.

Отсюда

или С=75.

Величину определяем, исходя из данного дополнительного условия: при мин, Т=60о.

Получаем:

и .

Таким образом, уравнение охлаждения хлеба при условиях нашей задачи примет вид:

. (2)

Из уравнения (2) легко определяем искомое время при температуре хлеба Т=30о:

, или.

Окончательно находим:

мин.

Итак, после 1 часа 11 мин. Хлеб охлаждается до температуры 30оС.

Задача 3.2. Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности k=1,00017. Температура трубы 160о; температура внешнего покрова 30о (рис.8). Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количество теплоты, отдаваемого одним погонным метром трубы.

Решение. Если тело находится в стационарном тепловом состоянии и температура Т в каждой его точке есть функция только одной координаты х, то согласно закону теплопроводности Фурье количество теплоты, испускаемое в секунду:

, (1)

где F(x)- площадь сечения тела на расстоянии х,

k – коэффициент теплопроводности.

Здесь (2)

Рис. 8

где l – длина трубы в см,

х – радиус трубопровода в см.

Таким образом, после разделения переменных дифференциальное уравнение примет вид:

(3)

Интегрируя обе части равенства (3), находим:

или (4)

Разделив почленно уравнения второе на первое, получим:

.

Отсюда закон распределения температуры внутри изоляции:

.

Из первого уравнения системы(4) при =100 см имеем:

Количество теплоты, отдаваемое в течение суток, равно

кал.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Дата добавления: 2017-02-24; просмотров: 4673 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Источник: https://lektsii.org/14-59762.html

Часть III Примеры решения задач по физике

III. Задачи на составление дифференциальных уравнений

Часть III

Примеры решения задач по механике, требующих интегрирования дифференциальных уравнений

(Задачи взяты из задачника: И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», М.: Наука, 1981г., 460с.)

Задача №1. Пример задачи, приводящей к интегрированию дифференциальных уравнений методом разделения переменных.

Задача № 27.38

          При движении тела в неоднородной среде сила сопротивления изменяется по закону  Н, где v – скорость тела в м/с, а s – пройденный путь в метрах. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость v0=5 м/с.

Решение

          Будем считать, что движение происходит вдоль оси 0Х, и что при t=0 тело находилось в начале координат, тогда проекция на ось 0Х силы, действующей на тело, может быть записана в виде

.

 С учётом этого выражения, имеем следующее уравнение движения (считая массу тела m=1 кг)

,            (1)

которое дополняется начальными условиями

,                         (2)

Решение уравнения второго порядка (1) можно свести к двум последовательным интегрированиям дифференциальных уравнений первого порядка. Чтобы получить первое уравнение, перепишем (1) в виде:

,          (3)

и домножим на dt левую и правую части (3), учитывая при этом, что dx=vxdt, получим:

, или      (4)

Это уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.5) из Раздела №1 Части I). Очевидно, что оно, дополняется начальным условием, следующим из (2):

           (5)

Разделив переменные в (4), в соответствие с формулой (1.7):

,

вычисляя данные интегралы, получим частный интеграл уравнения (4) (в форме (В.4) из Введения к Части I):

            (6)

Выразив отсюда vx, будем иметь частное решение уравнения (4) (в форме (В.6) из Введения к Части I):

       (7)

Заменяя теперь в (7)

,

мы снова получаем уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.1) из Раздела №1 Части I)

       (8)

Разделяя в (8) переменные, с учётом начального условия (2), ищем частный интеграл этого уравнения (в виде (1.4) из Раздела №1 Части I):

    (9)

Вычисляя интегралы в (9), получим:

    (10)

– частный интеграл уравнения (8) в форме (В.4) из Введения к Части I. Выражая отсюда x, получим частное решение уравнения (8):

,   (11)

которое одновременно является и частным решением уравнения движения (1), удовлетворяющим начальным условиям (2), то есть, представляет собой закон движения тела (координата x, (или в данном случае путь), как функция времени). Таким образом, решение исходного уравнения движения второго порядка (1) в процессе решения задачи было сведено к интегрированию двух уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (4) и (8).

Задача №2. Пример задачи, приводящей к интегрированию линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Задача № 31.29

          Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость , направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны .

Решение:

Расставляем силы, действующие на тело, и записываем второй закон Ньютона:

Спроектируем данное равенство на направление движения и перпендикулярное ему. Эти направления указаны на рисунке векторами  и . Таким образом, для описания движения мы используем естественный способ. В результате получим:

      (1)

Здесь учтено, что центростремительное ускорение

,

а проекция

.

Сделаем в первом уравнении в (1) замену переменной – перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию по углу :

       (т.к. )

С учетом этой замены перепишем (1):

            (2)

Домножая второе уравнение на , и вычитая из первого, получим:

        (3)

Это уравнение типа (2.1) (из Раздела №2 Части I), в котором независимой переменной вместо t является  ; неизвестной функцией вместо ;

;      .

Уравнение (3) дополняется начальным условием:

         (4)

С учетом указанных обозначений, используя формулу (2.9) (из Раздела №2 Части I), решение уравнения (3) можно записать в виде:

          (5)

Вычисляя с помощью интегрирования по частям интервалы в (5) , окончательно получим:

     (6)

По условиям задачи тело должно остановиться на поверхности; т.е. при каком-то угле      .

Подставляя вместо  в (6) выразим  оттуда :

       (7)

Значение угла  можно выразить через , поскольку  ;

то из уравнений (2) получим:

        (8)

Отсюда: ;

         (9)

Учитывая, что

 ;

из (7) будем иметь:

      (10)

Следовательно, чтобы тело остановилось на шероховатой поверхности цилиндра, нужно, чтобы его начальная скорость не превосходила значение, определенного в (10).

Задача №3. Пример задачи, приводящей к решению линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Задача № 32.77

          Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жёсткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний.

Решение.

          Выберем начало координат в положении статического равновесия тела и расставим силы, действующие на тело в процессе колебаний (считаем, что тело в данный момент времени движется вверх).

Если АВ обозначает длину нерастянутой пружины, то отрезок ОВ представляет статическое удлинение пружины под действием силы mg. По закону Гука mg=k×ОВ, где k – коэффициент жёсткости пружины.

Записываем второй закон Ньютона:

.

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

, .

В результате получим уравнение колебаний

, или        (1)

где , .

Уравнение (1) представляет собой однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (уравнение (1.1) Части II). Для его решения используем схему, описанную в Разделе №1 Части II.

Составляем характеристическое уравнение:

.           (2)

Вычисляем дискриминант уравнения (2):

.          (3)

Поскольку в данном случае, в соответствие с условиями задачи движение тела носит колебательный (периодический) характер, то его координата должна изменяться со временем по гармоническому закону, то есть по закону косинуса или синуса. Для того же, чтобы решение уравнения (1) выражалось через данные функции, мы должны считать, что D       (4)

где величины  и  определяются следующим образом:

,                  (5)

В случае отсутствия затухания (когда n=0), , и тело совершает свободные колебания с периодом  с.

Если же n¹0, то период колебаний, с учётом (5),:

.

Выражаем отсюда , и определяем постоянную демпфирования a (коэффициент пропорциональности в формуле для силы сопротивления):

Подставляя данные задачи, получим a=19 .

          В соответствие со своим определением, логарифмический декремент затухания есть натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд, (то есть взятых через половину периода колебания ): . Вычисляя n и подставляя значение Т, получим =9,5.

Задача №4. Пример задачи, приводящей к решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Задача № 32.107

          Для уменьшения действия на тело массы m возмущающей силы  устанавливают пружинный амортизатор с жидкостным демпфером. Коэффициент жёсткости пружины k. Считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости (), найти максимальное динамическое давление всей системы на фундамент при установившихся колебаниях.

Решение

          Направим ось 0X вдоль направления движения, выбрав начало координат в положении статического равновесия тела. При этом считаем, что сила тяжести скомпенсирована силой статического сжатия пружины амортизатора. Записываем второй закон Ньютона:

.

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

, , .

В результате получим уравнение колебаний

, или ,     (1)

где обозначено , .

          При колебаниях на фундамент действует сила, складывающаяся из силы деформации пружины и силы сопротивления, равная в соответствие с третьим законом Ньютона,

.     (2)

Следовательно, для вычисления этой силы нужно знать уравнение движения тела , для чего необходимо решить уравнение (1). Поскольку в задаче рассматриваются уже установившиеся колебания, то есть рассматривается движение тела, установившееся по истечению достаточно большого промежутка времени от момента его начала.

При этом тело будет совершать колебания с частотой вынуждающей силы. Поэтому мы должны найти частное решение уравнения (1), соответствующее этим вынужденным колебаниям. Для этого используем метод подбора по правой части. Представим, в соответствие с формулой (2.

5) (из Раздела №2 Части II) решение уравнения (1) в виде

         (3)

Обозначим для краткости записи через  и подставим (3) в (1):

Приравнивая коэффициенты при  и , получим следующую систему уравнений:

Решая данную систему, находим

,          (4)

Подставим (4) в (3):

     (5)

Данную формулу, обозначая

       ,       (6)

можно переписать в виде:

       (7)

Подставим теперь (7) в (2):

    (8)

Обозначив

   ,        (9)

формулу (8) можно переписать в виде

    (10)

Отсюда следует, что максимальное динамическое давление всей системы на фундамент равно

.        (11)

Источник: https://tsput.ru/res/fizika/1/DIF_UR_WEB/Primer_mex.htm

МедНаука
Добавить комментарий