Производные квадратичной функции. Квадратичная функция

Квадратичная функция

Производные квадратичной функции. Квадратичная функция

Функция вида  , где  называется квадратичной функцией. 

График квадратичной функции – парабола. 

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА 

, то есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем  точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться  в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

II СЛУЧАЙ,  «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При парабола   изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях  ордината    каждой точки умножилась на 4.  Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной  таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола  «станет шире»  параболы :

Давайте подитожим:

1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При  ветви направлены вверх, при — вниз. 

2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше  , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ  «С»

 Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: ,   .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если  имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

,  . Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы ,  ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку .  Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы  с осью (оу), это .   В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (,  ), две (, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох).

В предыдущем примере у нас  корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения  с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана  в виде

1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с 

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

Пример  2

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат:  Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли   вершину параболы , то есть теперь , .

Например,  . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае  – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Источник: https://egemaximum.ru/kvadratichnaya-funktsiya/

Квадратичная функция. Понятие

Квадратичная функция – это функция вида  , где  ,   и   ­– любые числа (они и называются коэффициентами). Число   называют старшим или первым коэффициентом такой функции,   – вторым коэффициентом, а   – свободным членом.

Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения   и область значений .

Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции  ? Правильно, любыми. Ведь в эту формулу можно подставить любое число (в отличии, например, от функции   – в нее нельзя подставить  ).

Значит, область определения – все действительные числа:

  или  .

А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?

Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию    , чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю. Значит, эта функция всегда не меньше нуля. А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше. Таким образом, можем написать для  .

В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.

Квадратичная функция. График

Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем.

Построение графика квадратичной функции:

Начнем с простейшей квадратичной функции –  .

Составим таблицу значений:

x-2-1012
y41014

Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.

Рассмотрим теперь другую функцию:  . Составим таблицу значений:

x-2-101234
y50-3-4-305

Сравним два рисунка. Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах. Во второй параболе вершина переместилась в точку  , а ветви переехали вместе с ней. Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.

Коэффициенты квадратичной функции

Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции. Начнем со старшего коэффициента.

Будем рассматривать функции вида   ( ,   – пусть не мешают).

Построим на одном рисунке графики нескольких функций: при  

Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?

Во-первых, это невозможно не заметить, если  , ветви парабол направлены вниз, а если “\displaystyle. А у нижней параболы? Верно,  .

Так, хорошо. Значит, если парабола пересекает ось   в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения. Если не пересекает – корней нет. Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси   вершиной:

А что такое вершина параболы?

Вершина параболы

Корень уравнения в этом случае указывает на вершину параболы. Если вспомнить формулу корня квадратного уравнения при  , получим формулу вершины:

 .

Это тоже бывает очень полезно.

Итак, всего возможны шесть разных вариантов расположения параболы. Вот они все на одном рисунке:

А теперь порешаем задачки.

Квадратичная функция. Примеры решения задач

1. График какой из функций избражен на рисунке?

a)  

b)  

c)  

d)  

2. Найдите сумму корней квадратного уравнения  , если на рисунке приведен график функции  :

3. Найдите произведение корней квадратного уравнения  , если на рисунке приведен график функции  :

4. По графику функции   определите коэффициенты   и  :

Решения:

1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно,  . То есть вариант b) сразу не подходит.

Дальше посмотрим на точку пересечения с осью  . Что нам дает эта точка? Вспоминай. Это – свободный член c. Значит,   – отбросим вариант a).

Ну что же,   осталось определить b. Тут нам поможет вершина. Напоминаю, что ее координата вычисляется по формуле:  . В нашем случае  . Тогда:

 .

Итак, наша парабола задается формулой:  . Это вариант ответа d)

2. Проще простого: корни – это точки пересечения параболы с осью  . Смотрим:  ,  . Значит, их сумма  .

3. То же самое:  ,  . Произведение  .

4. Хм… Ну, коэффициент с мы бы нашли, да только по оси   нет обозначений. Зато показаны точки пересечения с осью  . А это ведь корни уравнения  . Как это нам поможет?

Кстати, чему равен старший коэффициент?

Он равен  . Как называется такое квадратное уравнение? Вспоминай: оно называется приведенным. Теперь догадался? Можно ведь применить теорему Виета. Точно! Ведь она говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком:

 ,

а произведение – свободному члену:

 .

Ну вот и решили:  ,  .

Ответ:  

Квадратичная функция. коротко о главном

Квадратичная функция – функция вида  , где  ,   и   ­– любые числа (коэффициенты),   – свободный член.

  • График квадратичной функции – парабола.
  • Вершина параболы:  .

Квадратичная функция вида:  .

  • Если коэффициент  , ветви параболы направлены вниз, если   – ветви параболы направлены вверх.
  • Чем больше значение   (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше  , тем парабола шире.

Варианты расположения параболы в зависимости от коэффициента   и дискриминанта  .

 Для построения параболы необходимо:

1) Найти координаты вершины

2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы

3) Найти точки пересечения параболы с осью   (нули), если они есть, решив уравнение  

4) Найти точку пересечения с осью  , решив уравнение  .

А теперь я хочу услышать тебя..

Ну вот ты и усвоил, что такое квадратичная функция, какой у нее график, и как пользоваться графиком при решении задач.

А в теме «Построение графика квадратичной функции» ты научишься сам быстро строить любые параболы без таблицы (не по точкам, а как это делают взрослые, серьезные люди).

Насколько трудной была для тебя эта тема? 

Все ли ты понял?

Есть ли у тебя вопросы или предложения?

Источник: https://youclever.org/book/kvadratichnaya-funktsiya-1

Построение параболы по характерным точкам

Построение графика квадратичной функции y = ax2 + bx + c по характерным точкам. Этот алгоритм позволяет построить параболу с минимальным количеством вычислений и при этом с идеальной точностью для решения экзаменационных задач по математике.

Быстрое построение параболы как графика квадратичной функции.

Другие случаи. Примеры построения.

Задачи на анализ графика квадратичной функции

Задания вида “Установить соответствие между коэффициентами квадратного трёхчлена и приведенными графиками квадратичной функции” встречаются в ОГЭ по математике в 9-ом классе, а также необходимы сдающим ЕГЭ за 11 класс в качестве промежуточного действия.

   Перейдите  на главную страницу.

Источник: http://mathematichka.ru/school/functions/quadratic.html

Квадратичная функция и ее график

Производные квадратичной функции. Квадратичная функция

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2012-05-21

» СТАТЬИ » Интерактивные модели » Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где  называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

с  – свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками – это, так называемые “базовые точки”. Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если ,то уравнение  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,  

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции – точка пересечения параболы  с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы  с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции 

1. Направление ветвей параболы.

Так как ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: 

,  

3.   Координаты  вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид  – в этом уравнении – координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции  , и второй коэффициент – четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

  • сначала построить график функции ,
  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение  графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент – четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: 

Следовательно,  координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции – точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда 

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.Подвигайте движки.Исследуйте зависимость

– ширины графика функции от значения коэффициента ,

– сдвига графика функции вдоль оси от значения  ,

– сдвига графика функции вдоль оси от значения  
– направления ветвей параболы от знака коэффициента
– координат вершины параболы от значений и :

Источник: https://ege-ok.ru/2012/05/21/kvadratichnaya-funktsiya-i-ee-grafik

МедНаука
Добавить комментарий